题目内容

已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．

答案：略
解析：

证法1：连结CG交DC于点H．

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB．

在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，

∴H为CG的中点．

∵FH是△SCG的中位线，

∴FH∥SG．

又平面DEF，平面DEF，

∴SG∥平面DEF．

证法2：∵EF为△SBC的中位线，

∴EF∥SB．

∵EF平面SAB，SB平面SAB，

∴EF∥平面SAB．

同理DF∥平面SAB，EF∩DF=F，

∴平面SAB∥平面DEF．

又∵SG平面SAB，

∴SG∥平面DEF．


提示：

思路1：如图，观察图形，即可判定SG∥平面DEF．要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行．

观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线．

怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．

思路2：要证明SG∥平面DEF，只需证明平面SAB∥平面DEF．要证明平面DEF∥平面SAB，只需证明SA∥DF，SB∥EF．而SA∥DF，SB∥EF可由题设直接推出．


练习册系列答案
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（2012•青岛一模）已知点M在椭圆D：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为
2
6
3
的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若
QP
=2
PF
，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：
3x2
a2
+
4y2
b2
=1左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直线GK是否存在？请说明理由．

已知点M在椭圆D：上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为的正三角形．

(Ⅰ)求椭圆D的方程；

(Ⅱ)设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F(－1，0)，交y轴于点Q，若＝2，求直线l的斜率；

(Ⅲ)过点G(0，－2)作直线GK与椭圆N：左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|·|GK|＝3|RF1|·|F1S|的直线GK是否存在？请说明理由．
已知点M 在椭圆D ：上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为的正三角形，
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足的直线GK是否存在？请说明理由。
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x2
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+
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的正三角形．
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