Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，通项公式为，．
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s₂；当n=2时，f（2）=s₄-s₁=a₂+a₃；当n=3时，f（3）=s₆-s₂．（2）当n=1时，≥1．当n≥2时，f（n）中没有a₁，因此都小于1．
解答：解：（Ⅰ）由已知，，；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）
（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么===，
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）
点评：此题主要考查数列递推式及相关计算．