Question

己知集合M={(x，y)|x>0，y>0，x+y=k}，其中k为正常数。
（1）设t=xy，求t的取值范围；
（2）求证：当k≥1时，不等式对任意（x，y）∈M恒成立；
（3）求使不等式对任意（x，y）∈M恒成立的k的范围。

Answer 1

解：（1），
当x=y=k时取等号，
所以xy的取值范围为。
（2），
，
∴，
故在上为增函数，
∴。
（3）由（2）知，即求对t∈恒成立的k的范围，
又在上递减，在上递增，
要使函数在上恒有，则必须，
解得。