Question

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，经过点F作倾斜角为135°的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M，且直线AB与OM的夹角为，且tan＝3，求这个椭圆的离心率．

Answer 1

答案：
解析：

解：设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1， 　　两式相减可得kAB＝＝·＝－1， 　　所以a2y0＝b2x0． 　　又kOM＝＝1－e2，而||＝tan＝3， 　　故kOM＝或kOM＝2(∵a＞b，＜1，∴kOM＝2舍去)， 　　所以1－e2＝，e＝为所求． 　　解析：本题先根据题意求出直线AB的斜率，再依据直线与椭圆的方程联立消去其中一个未知数，找到相应的两个交点A、B的横(或纵)坐标之间的关系，从而表示出相应的中点M的坐标，从而将问题解决．

提示：

对于有关直线与椭圆的交点问题的解决，通常联立直线与椭圆的方程消去其中的一个未知数，从而利用根与系数间的关系将两个交点的横(或纵)坐标间的关系找到，再利用已知条件解决相关的问题．