题目内容
已知z为虚数，z+
为实数．
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．
| 9 |
| z-2 |
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．
（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则 z+
=2+yi+
=2+(y-
)i∈R，…（4分）
得y-
=0，y=±3，…（6分） 所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵z+
=x+yi+
=x+
+[y-
]i∈R，
∴y-
=0，∵y≠0，∴（x-2）2+y2=9，…（10分）
由（x-2）2＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴|z-4|=|x+yi-4|=
=
=
∈(1，5)．…（15分）
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则 z+
| 9 |
| z-2 |
| 9 |
| yi |
| 9 |
| y |
得y-
| 9 |
| y |
（2）∵z+
| 9 |
| z-2 |
| 9 |
| x+yi-2 |
| 9(x-2) |
| (x-2)2+y2 |
| 9y |
| (x-2)2+y2 |
∴y-
| 9y |
| (x-2)2+y2 |
由（x-2）2＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴|z-4|=|x+yi-4|=
| (x-4)2+y2 |
| (x-4)2+9-(x-2)2 |
| 21-4x |
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