Question

已知函数f(x)=aln(x+1)+

1

2

x2-ax+1(a＞0)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

（Ⅰ）f（0）=1，f′ (x)=

a

x+1

+x-a=

x(x-a+1)

x+1

，（2分）
f′（0）=0，所以函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（14分）
（Ⅱ）函数的定义域为（-1，+∞），
令f'（x）=0，得

x(x-a+1)

x+1

=0，
解得：x=0，x=a-1，（15分）
当a＞1时，列表：

x	（-1，0）	0	（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

可知f（x）的单调减区间是（0，a-1），增区间是（-1，0）∪（a-1，+∞）；
极大值为f（0）=1，极小值为f(a-1)=alna-

1

2

a2+

3

2

；（8分）
当0＜a＜1时，列表：

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

可知f（x）的单调减区间是（a-1，0），增区间是（-1，a-1）∪（0，+∞）；
极大值为f(a-1)=alna-

1

2

a2+

3

2

，极小值为f（0）=1（11分）
当a=1时，f'（x）≥0，可知函数f（x）在（-1，+∞）上单增，无极值．（13分）