Question

已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且。

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC。
又∵，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF，
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，
∴BE⊥AC，
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
∴，
由AB²=AE·AC，得，
∴，
故当时，平面BEF⊥平面ACD。