Question

已知函数f(x)=

x

1-|x|

，分别给出下面几个结论：
①f（x）是奇函数；②函数 f （x） 的值域为R；③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）； ④函数g（x）=f（x）+x有三个零点．其中正确结论的序号有

①②④

．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析：①利用奇函数的定义进行验证f(-x)=

-x

1-|-x|

=-f(x)；②当x＞0时，f(x)=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，可求其值域，由①知当x＜0时，可求f（x）值域，x=0时，f（x）=0，从而可判断；③由②知若x₁≠x₂，则不一定有f（x₁）≠f（x₂）；④由③知f（x）的图象与y=-x有三个交点，故可判断．

解答：解：①f(-x)=

-x

1-|-x|

=-f(x)∴正确
②当x＞0时，f(x)=

x

1-x

=-1+

1

1-x

∈（0，+∞）∪（-∞，-1）
由①知当x＜0时，f（x）=

x

x+1

∈（1，+∞）∪（-∞，0）
x=0时，f（x）=0
∴函数 f （x） 的值域为R，故正确；
③由②知若x₁≠x₂，则不一定有f（x₁）≠f（x₂），由于x＜0时，f（x）=

x

x+1

，x＞0时，f(x)=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，不妨令函数值为3，则可知x= -

3

2

或x=

3

4

，故不正确
④由③知f（x）的图象与y=-x有三个交点，原点及第二、四象限各一个，
∴函数g（x）=f（x）+x有三个零点，故正确．
故答案为：①②④

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，解题的关键是正确利用函数，结合定义求解