Question

设集合A={x|x²+3a=（a+3）x，a∈R}，B={x|x²+3=4x}．
（1）若A∩B=A，求实数a的值；
（2）求A∪B．

Answer 1

分析：（1）根据题意，先求出集合B，由A∩B=A可得A⊆B，分析可得集合A={x|（x-a）（x-3）=0}，分a=3与a≠3两种情况分析讨论，即可得a的值，综合可得答案；
（2）由（1）的结论，A={x|（x-a）（x-3）=0}，分a=1、a=3、a≠1且a≠3三种情况讨论，先求出集合A，进而由并集的定义求出A∪B，即可得答案．

解答：解：（1）x²+3=4x⇒x=1或3，则B={1，3}，
若A∩B=A，则有A⊆B，
x²+3a=（a+3）x⇒（x-a）（x-3）=0，则A={x|（x-a）（x-3）=0}，
当a=3时，A={3}，A⊆B成立，
当a≠3时，A={a，3}，若A⊆B，必有a=1，
综合可得a=1或3，
（2）由（1）可得A={x|（x-a）（x-3）=0}，
当a=1时，A={1，3}，A∪B={1，3}，
当a=3时，A={3}，A∪B={1，3}，
当a≠1且a≠3时，A={a，3}，A∪B={a，1，3}．

点评：本题考查集合关系的应用，解题时注意对a进行分类讨论，以确定集合A．