Question

动点P与点F(1，0)的距离和它到直线l：x＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C₁．圆C₂的圆心T是曲线C₁上的点，圆C₂与y轴交于M，N两点，且|MN|＝4．

(1)求曲线C₁的方程；

(2)设点A(a，0)(a＞2)，若点A到点T的最短距离为a－1，试判断直线l与圆C₂的位置关系，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：设动点P的坐标为(x，y)，依题意，得， 　　即　　2分 　　化简得：y2＝4x， 　　∴曲线C1的方程为y2＝4x　　4分 　　解法2：由于动点P与点的距离和它到直线的距离相等， 　　根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以点为焦点，直线l为准线的抛物线　　2分 　　∴曲线C1的方程为y2＝4x　　4分 　　(2)解：设点T的坐标为，圆C2的半径为r， 　　∵点T是抛物线上的动点， 　　∴()． 　　∴　　6分 　　 　　． 　　∵，∴，则当时，取得最小值为　　8分 　　依题意得， 　　两边平方得， 　　解得或(不合题意，舍去)　　10分 　　∴，，即． 　　∴圆的圆心的坐标为． 　　∵圆与轴交于两点，且， 　　∴． 　　∴　　12分 　　∵点到直线的距离， 　　∴直线与圆相离　　14分