Question

已知函数f(x)=

a•2x-b

2x+b

是定义在R上的奇函数，其反函数的图象过点(

1

3

，1)，若x∈（-1，1）时，不等式f-1(x)≥log2

1+x

m

恒成立，则实数m的取值范围为

m≥2

．

Answer 1

分析：根据f（x）是奇函数，则f（0）=0，结合反函数图象经过的点的坐标，列出关于a，b的方程组，可求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式，再将x用y表示，最后交换x、y，即可求出反函数的解析式，从而得log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

对x∈（-1，1）恒成立根据函数在（0，+∞）上的单调性建立不等式，将m分离出来，即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立，从而求出所求．

解答：解：∵f（x）是奇函数，∴f(0)=0⇒

a•1-b

1+b

=0，
∴a=b①…（2分）
又其反函数的图象过点(

1

3

，1)，得原函数过点（1，

1

3

），
∴f(1)=

1

3

⇒

a•2-b

2+b

=

1

3

②．
由①②得a=b=1．
记y=f(x)=

2x-1

2x+1

．整理得2x=

1+y

1-y

＞0，
∴

1+y

1-y

＞0⇒-1＜y＜1
上式两边取2为底的对数，x=log2

1+y

1-y

，交换x、y，y=log2

1+x

1-x

故所求反函数f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
从而log2

1+x

1-x

≥log2

1+x

m

对x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函数，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范围是m≥2…（13分）
故答案为：m≥2．

点评：本题主要考查了反函数，以及反函数与原函数的之间的关系，同时考查了恒成立问题和最值问题，是一道综合题．