Question

22．函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）处的切线方程，并设函数

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）证明：当x∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x)；

   （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.

Answer 1

22.（Ⅰ）解：

   （Ⅱ）证明：

令

  因为递减，所以递增，因此，当；

    当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

    对任意成立的充要条件是

    另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率不大于，该切线的方程为

    于是的充要条件是

    综上，不等式对任意成立的充要条件是          ①     

    显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

  ②

    有解.

解不等式②得

                          ③

    因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

       对任意成立的充要条件是      

    令，于是对任意成立的充要条件是

     由

    当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即

    综上，不等式对任意成立的充要条件是

             ①

    显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式

  ②

    有解.

解不等式②得

    因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.