Question

用S_m→n表示数列{a_n}从第m项到第n项（共n-m+1项）之和．
（1）在递增数列{a_n}中，a_n与a_n+1是关于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n为正整数）的两个根．求{a_n}的通项公式并证明{a_n}是等差数列；
（2）对（1）中的数列{a_n}，判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的类型，并证明你的判断．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0可求得方程的两根x₁=2n-1，x₂=2n+1，利用{a_n}是递增数列，即可知a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，从而可证得{a_n}是等差数列；
（2）依题意，可求得S_3k-2→3k与S_{3（k+1）-2→3（k+1）}，利用等差数列的定义即可判断数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k为等差数列．
解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（2分）
∵{a_n}是递增数列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，a_n+1-a_n=2…（4分）
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=2n-1（n为正整数）…（6分）
（2）当k为正整数时，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9…（8分）
S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，…（10分）
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常数）   …（12分）
∴数列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差数列．…（14分）
点评：本题考查数列的求和，突出考查等差数列的判定与分析，考查推理证明能力，属于中档题．