题目内容
有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a是圆锥的全面积，a′是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．分析：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，由圆柱和圆锥的表面积公式表示出a和a′，
因为R=
，消去R得到L和h的关系，解方程即可．
因为R=
| L2-h2 |
解答：解：设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为L，
则
=
=
，
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=
，代入可得
2a(
+h)=a′(
+L)，
（2a-a'）
=a'L-2ah．
两边同除以L，可得
（2a-a'）
=a′-2a
．
等式两边平方，
(4a2-4a′a+a′2)[1-(
)2]=a′2-4aa′•
+4a2(
)2，
(8a2-4aa′+a′2)(
)2-4aa′
+(4aa′+a′2)=0．
这个关于
的一元二次方程的判别式
△=（-4aa'）2-4（8a2-4aa'+a'2）（4aa'+a'2）=16a（2a-a'）3＞0，
∴该一元二次方程有二个实根，此二实根即圆锥的高与母线的比：
=
=
=
．
则
| a |
| a′ |
| πR(R+L) |
| 2πR(R+h) |
| R+L |
| 2(R+h) |
∴2a（R+h）=a'（R+L）．
由R=
| L2-h2 |
2a(
| L2-h2 |
| L2-h2 |
（2a-a'）
| L2-h2 |
两边同除以L，可得
（2a-a'）
1-(
|
| h |
| L |
等式两边平方，
(4a2-4a′a+a′2)[1-(
| h |
| L |
| h |
| L |
| h |
| L |
(8a2-4aa′+a′2)(
| h |
| L |
| h |
| L |
这个关于
| h |
| L |
△=（-4aa'）2-4（8a2-4aa'+a'2）（4aa'+a'2）=16a（2a-a'）3＞0，
∴该一元二次方程有二个实根，此二实根即圆锥的高与母线的比：
| h |
| L |
4aa′±
| ||
| 2(8a2-4aa′+a′2) |
4aa′±4(2a-a′)
| ||
| 2[4a2+(2a-a′)2] |
=
2aa′±2(2a-a′)
| ||
| 4a2+(2a-a′)2 |
点评：本题考查圆柱和圆锥的表面积公式、二次方程根的问题，考查消元法和构造方程求解．
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