Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³+2x²，其中a＞0
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ） 若函数f（x）在区间（-2，0）上是减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-2时，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=3代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间 （-2，0）内是减函数，即导数在区间 （-2，0）内恒小于0由二次函数的性质转化出关于参数的不等式，解出a的取值范围．
（Ⅲ）先求导f′（x）=ax²+4x=x（ax+4），再对a进行分类讨论：当-1≤-

4

a

，当-

4

a

＜-1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值，从而列出关于a的方程即可求得a=12．

解答：解：（Ⅰ）a=3时f（x）=x³+2x²
f′（x）=3x²+4x，f′（1）=7，f（1）=3，
∴所求的切线方程为：y-3=7（x-1）
即7x-y-4=0
（Ⅱ）f'（x）=ax²+4x
若函数f（x）在区间 （-2，0）内是减函数，
则f′（x）＜0在区间 （-2，0）内恒成立，
即ax²+4x＜0?ax+4＞0?a＜-

4

x

在区间 （-2，0）内恒成立，
则 a＜2
a的取值范围a＜2；
（Ⅲ）f（x）=

1

3

ax³+2x²∴f′（x）=ax²+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-

4

a

或x＞0，f′（x）＜0，-

4

a

＜x＜0
y=f（x）在x＜-

4

a

或x＞0上单调增，在-

4

a

＜x＜0上单调减．
当-1≤-

4

a

即a≥4时y=f（x）在[-1，-

4

a

]，[0，1]上单调增，在[-

4

a

，0]上单调减，f（x）的最小值在x=-1或x=0时取到，
f（0）=0不符合题意，f（-1）=-

1

3

a+2，a=12
当-

4

a

＜-1即0＜a＜4时y=f（x）在[0，1]上单调增，在[-1，0]上单调减
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．