Question

18. 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°.侧棱AA₁＝2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离.

Answer 1

18.

（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

∵D、E分别是CC₁、A₁B的中点，又DC⊥平面ABG，

∴CDEF为矩形.

连结DF，G是△ADB的重心，∴GDF.

 

在直角三角形EFD中，EF²＝FG·FD＝FD²，

∵EF＝1∴FD＝.于是ED＝，EG＝＝，

 

∵FG＝ED＝，∴AB＝2，A₁B＝2，EB＝，

∴sinEBG==·＝，

∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin.

（Ⅱ）解法一：∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，

∴ED⊥面A₁AB，

又ED面AED，

∴平面AED⊥平面A₁AB，且面AED∩面A₁AB＝AE.

作A₁K⊥AE，垂足为K，

∴A₁K⊥平面AED.即A₁K是A₁到平面AED的距离.

在△A₁AB₁中，A₁K＝＝＝，

∴A₁到平面AED的距离为.

解法二：连结A₁D，有＝.

　∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，

∴ED⊥平面A₁AB，

设A₁到平面AED的距离为h，

则       ·h=·ED.

又＝＝A₁A·AB＝，

＝AE·ED＝.

∴h==.

即A₁到平面AED的距离为.