Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx
（1）若a=-1，求f（x）在[

1

e

，e]上的最大值和最小值；
（2）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（3）在（2）的条件下，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³ 的图象的下方．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数求函数的最大值和最小值．
（2）利用导数的几何意义求切线方程．
（3）构造函数F（x），利用导数证明函数F（x）的单调性，从而证明在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³ 的图象的下方．

解答：解：∵f（x）=

1

2

x²+alnx，∴函数的定义域为（0，+∞），
∴f'（x）=x+

a

x

，（x＞0）
（1）若a=-1，f（x）=

1

2

x²-lnx
则f'（x）=x+

a

x

=x-

1

x

=

x2-1

x

．
由f'（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减，
∴f（x）在[

1

e

，1]上单调递减，在[1，e]上单调递增，
∴当x=1时，函数取得最小值f（1）=

1

2

-ln1=

1

2

．
又f(e)=

e2

2

-ln?e=

e2

2

-1，f(

1

e

)=

1

2e2

-ln?

1

e

=

1

2e2

+1＜f(e)，
∴最大值为f(e)=

e2

2

-1．
（2）当a=1时，f（x）=

1

2

x²+lnx，f'（x）=x+

a

x

=x+

1

x

，
∴f（1）=

1

2

，f'（1）=1+1=2，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-

1

2

=2(x-1)，
即y=2x-

3

2

．
（3）设F(x)=

1

2

x2+ln?x-

2

3

x3，
则F′(x)=x+

1

x

-2x2=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，
当x＞1时，F'（x）＜0，此时函数单调递减．
又F（1）=-

1

6

＜0，
所以在[1，+∞）上，F（x）＜0，
即

1

2

x2+ln?x＜

2

3

x3，
∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=

2

3

x³ 的图象的下方．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义求切线方程，要求熟练掌握导数在研究函数的应用．