Question

（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；
（2）当时，求在上的最大值和最小值；
（3） 当时，求证：对大于1的任意正整数，都有。

Answer 1

（1）（2）最大值为，最小值为（3），
函数在上为增函数，当时，令
即 所以

试题分析：（1），
函数在上为增函数，对任意的恒成立，
对任意的恒成立，即任意的恒成立，…………2分
而当时，，                      ……………………4分
（2）当时，
当变化时，，的变化情况如下表

			1		2
			0
			0

因为
所以在区间上的最大值为，最小值为 …………8分
（3）当时，，，
所以函数在上为增函数
当时，令
即                  ……………………10分
所以
所以
即对大于1的任意正整数，都有。…………12分
点评：导数主要用于判定函数单调性，求最值，证明不等式恒成立，其中证明不等式或已知不等式恒成立求参数问题常转化为求函数最值问题