Question

如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，CD=PD
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（3）求二面角P-BC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）证明BC⊥平面PCD，即可证得平面PBC⊥平面PCD．
（3）由ABCD是正方形，知PC⊥BC，由PD⊥平面ABCD，知BC⊥PD，故BC⊥平面PDC，所以PC⊥BC，∠PCD是二面角P-BC-D的平面角，由此能求出二面角P-BC-D的大小．
解答：证明：（1）连BD，与AC交于O，连接EO
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵E是PA的中点，∴EO∥PC，
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，
又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．
（3）∵ABCD是正方形，∴PC⊥BC，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PD，PD⊥DC，
∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，∴PC⊥BC，
∴∠PCD是二面角P-BC-D的平面角，
∵CD=PD，PD⊥DC，∴∠PCD=45°．
故二面角P-BC-D的大小为45°．
点评：本题考查线面平行，考查面面平行，考查二面角的求法．解题时要认真审题，掌握线面平行，面面平行的判定方法是解题的关键．