Question

定义R在上的函数f（x）为，对任意实数m，n，恒有f（m）•f（n）=f（m+n），且f（0）≠0，当x＞0时，0＜f（x）＜1则：（1）f（0）=    ．（2）当x＜0时，1-f（x）    0．（填≤，≥，＜，＞）

Answer 1

【答案】分析：由题意，定义R在上的函数f（x）为，对任意实数m，n，恒有f（m）•f（n）=f（m+n），且f（0）≠0，（1）可采取赋值的方法，令m=n=0，建立f（0）的方程求出它的值，（2）由于x＞0时，0＜f（x）＜1，可令m＞0，n=-m，代入恒等式研究m的函数值的取值范围，再作出判断得到答案
解答：解：（1）由题意，令m=n=0，则有f（0）•f（0）=f（0），
又f（0）≠0，所以f（0）=1，
故答案为：1
（2）取m＜0，n=-m，代入恒等式得f（m）•f（-m）=f（0）=1，
又x＞0时，0＜f（x）＜1，所以有0＜f（-m）＜1
由上f（m）•f（-m）=1
所以f（m）=＞1，即当x＜0时有f（x）＞1，
所以有x＜0时，1-f（x）＜0
故答案为：＜
点评：本题考查抽象函数的应用，正确解答本题，理解函数所满足的恒等式是关键，解答此类题，一般采用赋值的方法，这需要较高的观察判断能力，能根据恒等式与所求的值作出判断，找到恰当的当的赋值方法，在第一小题中，令m=n=0，可得到f（0）的方程，在第二小题中要借助x＞0时函数值的符号，研究x＜0时函数值的取值范围，故采取了取m＜0，n=-m的策略，以方便研究互为相反数的两个自变量的函数值的关系，从而达到研究自变量小于0时函数值取值范围的目的，做题时要注意此类技巧的使用，这是间接法在做题中重要的应用方式．