Question

（2012•通州区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且短轴的一个端点到左焦点F的距离是

2

，经过点F且不垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．点O为坐标原点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）在线段OF上存在点M（m，0）（点M不与点O，F重合），使得以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用短轴的一个端点到左焦点点F的距离是

2

，离心率为

2

2

，可求椭圆几何量，从而可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，可得(

MA

+

MB

)•

AB

=0，从而可得m=

-k2

1+2k2

，由此可得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为短轴的一个端点到左焦点点F的距离是

2

，离心率为

2

2

，
所以a=

2

，c=1        
所以b²=a²-c²=1
所以椭圆C的标准方程是

x2

2

+y2=1                  …（4分）
（Ⅱ）因为直线l与x轴不垂直，且交椭圆C于A，B两点，所以设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

因为以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，所以(

MA

+

MB

)•

AB

=0．
所以（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
因为x₁≠x₂，
所以（x₁+x₂-2m）+k²（x₂+x₁+2）=0．
所以（

-4k2

1+2k2

-2m）+k²（

-4k2

1+2k2

+2）=0．
所以m=

-k2

1+2k2

．
因为k≠0，所以-

1

2

＜m＜0．
所以m的取值范围是-

1

2

＜m＜0．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．