Question

已知函数f(x)=log

1

2

(x2-ax-a)在区间(-∞，1-

3

)上为单调增函数，则实数a的取值范围

2-2

3

≤a＜

4 3 -6

3

．

Answer 1

分析：用复合函数的单调性来求解，令g（x）=x²-ax-a．由“f（x）=log  

1

2

g（x）在(-∞，1-

3

)上为增函数”，可知g（x）应在(-∞，1-

3

)上为减函数且g（x）＞0在(-∞，1-

3

)上恒成立．再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．

解答：解：令g（x）=x²-ax-a．
∵f（x）=log  

1

2

g（x）在(-∞，1-

3

)上为增函数，
∴g（x）应在(-∞，1-

3

)上为减函数且g（x）＞0
在(-∞，1-

3

)上恒成立．
因此

a 2 ≥1- 3 g(1- 3 )＞ 0

，

a≥2-2 3 (1- 3 ) 2-a×(1- 3 )-a＞0

．
解得2-2

3

≤a＜

4 3 -6

3

，
故实数a的取值范围是2-2

3

≤a＜

4 3 -6

3

．
故答案为：2-2

3

≤a＜

4 3 -6

3

．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用．