Question

8．在四边形ABCD中，∠DAB与∠DCB互补，AB=1，CD=DA=2，对角线BD=$\sqrt{7}$，
（1）求BC；
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ADB中，△DCB中，分别使用余弦定理进行求解即可求BC；
（2）四边形ABCD的面积S=S_△ADB+S_△BDC．分别根据三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）在△ADB中，cos∠DAB=$\frac{A{D}^{2}+A{B}^{2}-B{D}^{2}}{2AD•AB}$=$\frac{4+1-7}{2×2×1}=-\frac{1}{2}$，
即∠DAB=120°，则∠DCB=60°，
在△DCB中，cos∠DCB=$\frac{D{C}^{2}+B{C}^{2}-B{D}^{2}}{2DC•BC}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{4+B{C}^{2}-7}{2×2BC}=\frac{1}{2}$，
即BC²-2BC-3=0．
解得BC=3或BC=-1（舍）．
（2）四边形ABCD的面积S=S_△ADB+S_△BDC=$\frac{1}{2}AD•ABsin120°$+$\frac{1}{2}CD•BCsin60°$=$\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．