Question

（2012•武汉模拟）已知函数f（x）=ax+blnx．
（1）当x=2时f（x）取得极小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）当b=-1时，若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用当x=2时，f（x）取得极小值2-2ln2，建立方程，即可求得a，b的值；
（2）b=-1时，f（x）=ax-lnx，求导函数可得f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，则f（x）=ax-lnx在区间（0，e]上的最小值＜0，分类讨论：①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在区间（0，e]上递减，符合题意；②当0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln

1

a

=1+lna，可得不成立；③当

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在（0，e]上为减函数，由此可得a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得：f'（x）=a+

b

x

∵当x=2时，f（x）取得极小值2-2ln2，
∴f'（2）=0，f（2）=2-2ln2
∴2a+b=0，2a+bln2=2-2ln2
∴a=1，b=-2
此时f'（x）=1-

2

x

当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0
∴当x=2时，f（x）取得极小值
∴a=1，b=-2
（2）b=-1时，f（x）=ax-lnx，求导函数可得f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，则f（x）=ax-lnx在区间（0，e]上的最小值＜0
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在区间（0，e]上递减
  由f（x）_min=f（e）=ae-1＜0得a＜

1

e

，∴a≤0符合题意
②当0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，x∈（0，

1

a

），f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（

1

a

，e），f'（x）＞0，f（x）递增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln

1

a

=1+lna
    由lna+1＜0得a＜

1

e

，矛盾
③当

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在（0，e]上为减函数，f（x）_min=f（e）=ae-1＜0
∴0＜a＜

1

e

综上所述，符合条件的a的取值范围是a＜

1

e

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确求导，合理分类．