Question

若(1+x+x2)(x+

1

x3

)n(n∈N*)的展开式中没有常数项，则n的可能取值是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：由题意可得可得（x+x^-3）ⁿ的展开式中没有常数项，且没有x^-1项，且没有x^-2项．根据（x+x^-3）ⁿ的展开式的通项公式可得x的幂指数为n-4r，故n-4r=0无解，
且n-4r=-1无解，且n-4r=-2无解，结合所给的选项，从而得出结论．

解答：解：若(1+x+x2)(x+

1

x3

)n(n∈N*)的展开式中没有常数项，可得（x+x^-3）ⁿ的展开式中没有常数项，且没有x^-1项，且没有x^-2项．
而（x+x^-3）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，
故n-4r=0无解，且n-4r=-1无解，且n-4r=-2无解．
结合所给的选项可得，n=9，
故选C．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．