Question

【题目】点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为．

（1）若点满足，试求点的轨迹的方程；

（2）直线与相交于，两点，且与（1）中的相切，线段的垂直平分线与轴相交于点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)设,,的坐标由向量间的关系,求出与的坐标之间的关系,再由相关点法求出的轨迹方程.

(2)设直线,联立与两个切线的方程,由题意得与直线参数的关系,由参数的范围求出的取值范围．

解:(1)设,则,,,

由,所以,解得:,

由在椭圆上,所以动点的轨迹的方程:.

(2)当直线 的斜率不存在时,不符合题意,舍去;

当直线的斜率存在时,设直线的方程为:

联立与椭圆的方程,整理得:

则,化简得:①

因为直线与椭圆交于,,设,,的中点

联立直线与椭圆的方程整理得:

,,

则,所以的中垂线方程:

令,得,所以②,由①②得

令,则．

所以的取值范围:．