Question

已知函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

+

1

2

（1）求f（x）的单调减区间
（2）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边a，b，c且满足（2b-a）cosC=c•cosA，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及两角和的正弦可求得f（x）=sin（x+

π

6

）+1，再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调减区间；
（2）利用正弦定理可求得C=

π

3

，又△ABC为锐角三角形，从而可得A∈（

π

6

，

π

2

），利用正弦函数的单调性质即可求得f（A）的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

2

sinx+

1+cosx

2

+

1

2

=cos

π

6

sinx+sin

π

6

cosx+1
=sin（x+

π

6

）+1．
由2kπ+

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）
得：2kπ+

π

3

≤x≤2kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调减区间为[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]（k∈Z）．
（2）∵△ABC中，（2b-a）cosC=c•cosA，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsnC，
∴（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，
∴2sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin[π-（A+C）]=sinB，sinB≠0，
∴cosC=

1

2

，C∈（0，π），
∴C=

π

3

．
又△ABC为锐角三角形，
∴0＜B=

2π

3

-A＜

π

2

且0＜A＜

π

2

，
解得A∈（

π

6

，

π

2

），
∴

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴1+

3

2

＜f（A）=sin（A+

π

6

）+1≤2，
即f（A）∈（1+

3

2

，2]．

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及两角和的正弦，考查正弦定理与正弦函数的单调性质的综合应用，属于中档题．