Question

在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=3，BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的半径为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、

  5

  2

Answer 1

分析：取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OD=

1

2

AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A-BCD外接球的半径大小．

解答：解：取AD的中点O，连结OB、OC
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，
∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=

1

2

AD．
同理可得：Rt△ABD中，OB=

1

2

AD，
∴OA=OB=OC=OD=

1

2

AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABD中，AB=3且BD=4，可得AD=

AB2+BD2

=5，
由此可得球O的半径R=

1

2

AD=

5

2

，即三棱锥A-BCD外接球的半径为

5

2

．
故选：D

点评：本题已知三棱锥的底面为直角三角形，由它的外接球的半径．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，属于中档题．