Question

8．已知定义在x∈[-2，2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，2]时，f（x）=-x+2$\sqrt{3-x}$．
（1）求函数f（x）在x∈[-2，2]上的解析式；
（2）设g（x）=ax-2-a，（a＞0），若对于任意x₁，x₂∈[-2，2]，都有g（x₁）＜f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，结合函数的奇偶性，从而求出函数的解析式；
（2）由题意得g（x）_max＜f（x）_min，分别求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

解答 解：（1）设x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
∵f（x）定义x∈[-2，2]是偶函数，
∴f（-x）=x+2$\sqrt{3+x}$，
∵f（-x）=f（x），∴f（x）=x+2$\sqrt{3+x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2\sqrt{3+x}，x∈[-2，0）}\\{-x+2\sqrt{3-x}，x∈[0，2]}\end{array}\right.$；
（2）因为对任意x₁，x₂∈[-2．，2]，都有g（x₁）＜f（x₂）成立，
所以g（x）_max＜f（x）_min，
又因为f（x）是定义在[-2，2]上的偶函数，
∴f（x）在区间[-2，0]和区间[0，2]上的值域相同．
当x∈[-2，0]时：f（x）=x+2$\sqrt{3+x}$，
设t=$\sqrt{3+x}$，则t∈[1，$\sqrt{3}$]，
函数化为：y=t²+t-3，t∈[1，$\sqrt{3}$]，
则f（x）_min=-1，
又g（x）_max=g（2）=a-2，
∴a-2＜-1，∴a＜1，
故a的范围是：0＜a＜1．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的奇偶性、函数恒成立问题，是一道中档题．