Question

已知函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A．若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，当

1

m

+

2

n

有最小值时，椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1的离心率为

 

．

Answer 1

分析：由题意可得定点A（-2，-1），2m+n=1，把要求的式子化为4+

n

m

+

4m

n

，利用基本不等式求得取得最小值时相应的m，n的值，最后代入椭圆方程即可求得其离心率．

解答：解：∵x=-2时，y=log₂1-1=-1，
∴函数y=log₂（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

2

n

=

2m+n

m

+

4m+2n

n

=2+

n

m

+

4m

n

+2≥4+2•

n m • 4m n

=8，
当且仅当m=

1

4

，n=

1

2

时取等号．
∴椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1即

x2

1 16

+

y2

1 4

=1
离心率为：

3 4

1 2

=

3

2

故答案为：

3

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+

n

m

+

4m

n

，是解题的关键．