Question

已知函数f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
求：（1）函数f（x）的最小正周期、最值及取得最值时相应的x值；
    （2）该函数的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得？

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期；利用正弦函数的最值，求出函数f （x）的最值，以及取得最值时x的取值集合；
（2）将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象向左平移

π

12

个单位长度，再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的

1

2

倍（横坐标不变）；最后在整体向上平移

5

4

个单位即可．先ω，再φ，后A的变换过程．

解答：解：∵f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
=

cos2x+1

4

+

3 sin2x

4

+1
=

cos2x+ 3 sin2x

4

+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

．
（1）T=

2π

2

=π；
当 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）时，
即 x∈{x|x=kπ+

π

6

，（k∈Z）}时，
∴f（x）max=

7

4

．
当 2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，（k∈Z）时，
即 x∈{x|x=kπ-

2π

3

，（k∈Z）}时，
∴f（x）_min=

3

4

．
（2）将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象向左平移

π

12

个单位长度，再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的

1

2

倍（横坐标不变）；最后在整体向上平移

5

4

个单位即可得到函数f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)的图象．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，最值、周期、函数图象的变换，主要考查基本知识的灵活应用，基本知识的掌握的熟练程度，决定解题的好坏和快慢．