Question

已知函数f（x）=sinx+

3

cosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最值及取到最小值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ），然后直接代入周期公式求周期；
（2）函数的定义域为R，则函数的最大值为A，最小值为-A，由ωx+φ=

3π

2

+2kπ（k∈Z）求解使函数取得最小值时的x的集合．

解答：解：（1）f（x）=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
∴T=

2π

|ω|

=2π；
（2）由（1）可知，f（x）_最大值=2，f（x）_最小值=-2．
由2sin（x+

π

3

）=-2，即sin（x+

π

3

）=-1．
∴x+

π

3

=

3π

2

+2kπ，k∈Z．
解得x=

7π

6

+2kπ，k∈Z．
∴f（x）取到最小值的x的集合为{x|x=

7π

6

+2kπ，k∈Z}．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数，考查了三角函数的周期性及其求法，训练了三角函数的最值得求法，解答的关键是y=asinθ+bcosθ的化积问题，是中档题．