Question

已知函数f(x)=

3x+1-1

3x-1

，函数g（x）=2-f（-x）．
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若当x∈（-1，0）时，g（x）＜tf（x）恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义，判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函数的单调性求函数的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=

3x+1-1

3x-1

，函数g（x）=2-f（-x）．
所以g(x)=2-

3-x+1-1

3-x-1

=2-

3-3x

1-3x

=

3x+1

3x-1

，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
因为g(-x)=

3-x+1

3-x-1

=

1+3x

1-3x

=-

3x+1

3x-1

=-g(x)，
所以g（x）是奇函数．
（Ⅱ）由g（x）＜tf（x）得，

3x+1

3x-1

＜t•

3x+1-1

3x-1

，（*）
 当x∈（-1，0）时，

1

3

＜3x＜1，-

2

3

＜3x-1＜0，
（*）式化为3^x+1＞t（3^x+1-1），（**） …（9分）
设3^x=u，u∈(

1

3

，1)，则（**） 式化为  （3t-1）u-t-1＜0，…（11分）
再设h（u）=（3t-1）u-t-1，
则g（x）＜tf（x）恒成立等价于

h( 1 3 )≤0 h(1)≤0

，

(3t-1)• 1 3 -t-1≤0 (3t-1)•1-t-1≤0

，

t∈R t≤1

，
解得t≤1，故实数t的最大值为1．…（14分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用指数函数的性质求含参问题恒成立问题，综合性较强，考查学生的运算能力．