Question

17．已知$\overrightarrow{m}$=（3cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{n}$=（2cosx，-2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间
（2）在△ABC中，锐角B满足f（B）=0，b=2，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数量积的定义和三角函数公式化简可得f（x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3，易得周期和单调区间；
（2）由题意和f（B）=0可得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理和基本不等式可得a+c的范围，再由三角形两边之和大于第三边可得a+c的另一个范围，综合可得．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=6cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx
=6×$\frac{1+cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$sin2x=3cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+3
=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+π可得kπ-$\frac{π}{12}$＜x＜kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴函数的单调减区间为（kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$）k∈Z；
（2）由题意由f（B）=0可得cos（2B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B为锐角，∴$\frac{π}{6}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴B=$\frac{π}{3}$，又b=2，
∴2²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac
≥（a+c）²-3（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{a+c}{2}$）²，
∴a+c≤4，当且仅当a=c=4时取等号，
再由三角形两边之和大于第三边可得a+c＞b=2，
∴a+c的取值范围为（2，4]

点评 本题考查平面向量的数量积，涉及解三角形和不等式的性质，属中档题．