Question

（2013•奉贤区二模）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B₁，B₂的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是

2a

．

Answer 1

分析：求出椭圆上下顶点坐标，设M（x_o，y_o），N（x_m，0），K（x_n，0），利用三点共线求出K，N的横坐标，利用M在椭圆上，推出|ON|•|OK|=a²，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．

解答：解：由椭圆方程知B₁（0，b），B₂（0，-b），
另设M（x_o，y_o），K（x_k，0），N（x_n，0）（2分）
由M，N，B₁三点共线，知

y0-b

x0-0

=

0-b

xn

（4分）
所以x_n=

bx0

b-y0

（6分）
同理得x_k=

bx0

b+y0

（9分）
|OK|•|ON|=|

b2x02

b2-y02

|…①，
又M在椭圆上所以

x02

a2

+

y02

b2

=1即b²-y

2 0

=

b2 x 2 0

a2

代入①得              10分
|OK|•|ON|=|

b2 x 2 0

b 2   x 2 0 a2

|=a²（12分）
利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2

|OK|•|ON|

=2a，当且仅当|OK|•|ON|取号，
故|OK|•|ON|的最小值为2a．
故答案为：2a．

点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标．