Question

（2009•台州二模）已知函数f（x）=asin2x+bcos2x+2的图象经过点（0，3）和(

π

6

，4)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）已知f（α）=3，且α∈(0， 

π

2

)，求α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f（0）=3，f（

π

6

）=4，解出方程组可得a，b，从而得f（x）解析式，由正弦函数的单调性可得f（x）的增区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f（α）=3得关于α的方程，结合α的范围可解出该简单的三角方程；

解答：解：（Ⅰ）由题意，有

f(0)=b+2=3 f( π 6 )= 3 2 a+ b 2 +2=4

，⇒a=

3

，b=1，
∴f(x)=

3

sin2x+cos2x+2=2sin(2x+

π

6

)+2．
由-

π

2

+2kπ ≤ 2x+

π

6

 ≤ 

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ ≤ x ≤ 

π

6

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为 [-

π

3

+kπ ，  

π

6

+kπ ]  (k∈Z)．
（Ⅱ）由f（α）=3，得2sin(2α+

π

6

)+2=3．
∴sin(2α+

π

6

)=

1

2

．          
∵α∈(0， 

π

2

)，∴2α+

π

6

∈(

π

6

，

7

6

π)，
∴2α+

π

6

=

5

6

π，解得α=

π

3

．

点评：本题考查复合函数的单调性、简单的三角方程，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．