题目内容
已知函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的图象关于直线x=
对称，点（
，0）是函数图象的一个对称中心，则a+ω的最小值是
+1
+1．
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
分析：由f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的图象关于直线x=
对称，可得f（-
）=f（
）=0，进而得到ω=k，再由a＞0，ω＞0，可得ω=3n+1，n∈N，此时a为定值
，故当ω取最小值时，a+ω取最小值
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：∵f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的图象关于直线x=
对称，
∴f（-
）=f（
）=0
∴-sin
+acos
=sin
+acos
=0；
∴a=tan
=-tan
=tan（-
）
∴
=-
+kπ，k∈Z
即ω=k
∵a＞0，ω＞0
∴ω=3n+1，n∈N
此时a=tan（n+
）π=
故当ω=1时，a+ω的最小值是
+1
故答案为：
+1
| π |
| 6 |
∴f（-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴-sin
| πω |
| 3 |
| πω |
| 3 |
| 2πω |
| 3 |
| 2πω |
| 3 |
∴a=tan
| πω |
| 3 |
| 2πω |
| 3 |
| 2πω |
| 3 |
∴
| πω |
| 3 |
| 2πω |
| 3 |
即ω=k
∵a＞0，ω＞0
∴ω=3n+1，n∈N
此时a=tan（n+
| 1 |
| 3 |
| 3 |
故当ω=1时，a+ω的最小值是
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题考查三角函数的性质，求得a是关键，考查正弦函数的对称性，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于难题．
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