Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用AA₁C₁C是正方形，可得AA₁⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC₁B₁中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．
解答：（I）证明：∵AA₁C₁C是正方形，∴AA₁⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
∴AA₁⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A₁（0，0，4），B（0，3，0），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
∴，，．
设平面A₁BC₁的法向量为，平面B₁BC₁的法向量为=（x₂，y₂，z₂）．
则，令y₁=4，解得x₁=0，z₁=3，∴．
，令x₂=3，解得y₂=4，z₂=0，∴．
===．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC₁B₁中作DE⊥BC于E，可得D，
∴=，=（0，3，-4），
∵，∴，
∴，解得t=．
∴．
点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．