Question

函数f(x)=x3+

2x-1

2x+1

+3sinx+1在区间[-t，t]（t＞0）上的最大值与最小值的和为

2

．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-1，易判断g（x）为奇函数，利用奇函数的性质可求得g（x）最大值与最小值的和，从而可得f（x）的最大值与最小值的和．

解答：解：令g（x）=f（x）-1=x3+

2x-1

2x+1

+3sinx，x∈[-t，t]（t＞0）．
∵g（-x）=(-x)3+

2-x-1

2-x+1

+3sin(-x)
=-x3+

1-2x

1+2x

-3sinx
=-x3-

2x-1

2x+1

-3sinx
=-g（x）．∴g（x）为奇函数．
当x∈[-t，t]（t＞0）时，
设[g（x）]_max=g（x₀），即[f（x）-1]_max=g（x₀），∴f（x）_max=g（x₀）+1．
又g（x）为奇函数，所以g（x）_min=-g（x₀），即[f（x）-1]_min=-g（x₀），∴f（x）_min=1-g（x₀）．
∴f（x）_max+f（x）_min=g（x₀）+1+1-g（x_0）=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了闭区间上函数的最值、函数的奇偶性，解决本题的关键是根据函数特点恰当构造函数，充分利用函数性质．