Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+1nx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+

1

x

，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f（1）、f（e），
因为f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

+1，
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为

e2

2

+1，最小值为

1

2

；
（Ⅱ）当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1n

xn-1•

1

x

+C

2n

xn-2•

1

x2

+…

+C

n-1n

x•

1

xn-1

=

1

2

[C

1n

(xn-2+

1

xn-2

)

+C

2n

(xn-4+

1

xn-4

)+…

+C

n-1n

(

1

xn-2

+xn-2)]，
由已知x＞0，所以：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥

C

1n

+C

2n

+…

+C

n-1n

=2n-2．