题目内容

在△ABC中，若∠A和△ABC的面积S为定值，求当2a2+3c2取得最小值时，b：c之值．
分析：根据三角形面积公式求得b和c的关系，代入余弦定理中求得a的表达式，代入2a2+3c2中利用均值不等式求得
8S2
C2sin 2A
=5c2时2a2+3c2取得最小值，求得c，则b可求．进而求得b：c之值．
解答：解：S=
1
2
cbsinA
∴b=
2S
csinA

由余弦定理可知
cosA=
b 2+c2-a2
2bc
=
4S2
c2sin 2A
+c2-a2
4S
sinA

∴a2=
4 S2
C2sin 2A
+c2-
4ScosA
sinA

∴2a2+3c2=
8S2
C2sin 2A
+5c2-
8ScosA
sinA
≥2
8S2
sin 2A
•5
-
8ScosA
sinA

当且仅当
8S2
C2sin 2A
=5c2时等号成立即c2=
8
5
•
S
sinA

∴b2=（
2S
csinA
）2=4×
5
8
×
S
sinA

∴b2：c2=4×
5
8
×
S
sinA
×
5
8
sinA
S
=
5
2

∴b：c=
10
2
点评：本题主要考查了余弦定理应用，基本不等式求最值．考查了学生综合分析问题的能力，基本的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
给出命题：
①函数y=2sinx-cosx的值域是[-2，1]；
②函数y=sinπxcosπx是周期为2的奇函数；
③x=-
3
4
π是函数y=sin(x+
π
4
)的一条对称轴；
④若sin2α＜0，cosα-sinα＜0，则α一定为第二象限角；
⑤在△ABC中，若A＞B则sinA＞sinB．
其中正确命题的序号为
 
．
在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（　　）
A、12
B、
21
2
C、28
D、6
3
在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=
2
，则AC=
2
3
3
2
3
3
．
下列命题中，真命题的个数为（　　）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）已知
AB
=(3，4)，
CD
=(-2，-1)，则
AB
在
CD
上的投影为-2；
（3）已知p：?x∈R，cosx=1，q：?x∈R，x2-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题；
（4）已知函数f(x)=sin(ωx+
π
6
)-2（ω＞0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于x=
π
3
对称．
已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+
π
4
)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=
π
3
，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{an}的前n项和Sn．

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