Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=

2

，E、F、G分别A₁B₁、B₁C₁、BB₁的中点．
（1）求直线D₁B与平面ABCD所成角的大小．
（2）求证：AC∥平面EGF．

Answer 1

分析：（1）由题意可得直线D₁B在底面ABCD内的射影为BD，故∠D₁BD 为直线D₁B与平面ABCD所成角的大小，求得tan∠D₁BD=

D1D

BD

 的值，可得∠D₁BD的值．
（2）由题意可可得EF为三角形B₁A₁C₁的中位线，故有EF平行且等于

1

2

A₁C₁，可得EF∥AC．再利用直线和平面平行的判定定理证得AC∥平面EGF．

解答：（1）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
故直线D₁B在底面ABCD内的射影为BD，故∠D₁BD 为直线D₁B与平面ABCD所成角的大小，
再由AB=1，D₁D=

2

，可得tan∠D₁BD=

D1D

BD

=

2

2

=1，∴∠D₁BD=

π

4

．
（2）由于E、F、G分别A₁B₁、B₁C₁、BB₁的中点，可得EF为三角形B₁A₁C₁的中位线，
故有EF平行且等于

1

2

A₁C₁．
再由A₁C₁和AC平行且相等，可得EF∥AC．
再由EF?平面EGF，而AC不再平面EGF内，故有AC∥平面EGF．

点评：本题主要考查直线和平面所成的角的定义和求法，直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．