题目内容
已知函数f（x）=
+
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
．
| alnx |
| x+1 |
| b |
| x |
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞
| lnx |
| x-1 |
（I）f′(x)=
-
．
由于直线x+2y-3=0的斜率为-
，且过点（1，1）
所以
=-
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=
+
所以f(x)-
=
(2lnx-
)
考虑函数h(x)=2lnx-
(x＞0)，
则h′(x)=
-
=-
所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得
h(x)＞0；
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得
h(x)＞0
从而当x＞0且x≠1时，
f(x)-
＞0即f(x)＞
a(
| ||
| (x+1)2 |
| b |
| x2 |
由于直线x+2y-3=0的斜率为-
| 1 |
| 2 |
所以
|
| 1 |
| 2 |
解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=
| lnx |
| x+1 |
| 1 |
| x |
所以f(x)-
| lnx |
| x-1 |
| 1 |
| 1-x2 |
| x2-1 |
| x |
考虑函数h(x)=2lnx-
| x2-1 |
| x |
则h′(x)=
| 2 |
| x |
| 2x2-(x2-1) |
| x2 |
| (x-1)2 |
| x2 |
所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得
| 1 |
| 1-x2 |
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得
| 1 |
| 1-x2 |
从而当x＞0且x≠1时，
f(x)-
| lnx |
| x-1 |
| lnx |
| x-1 |
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