Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PAB为等边三角形.

(1)求PC与平面ABCD所成角的大小;

(2)求二面角B-A-C-P的大小;

(3)求点A到平面PCD的距离.

Answer 1

解法一:(1)设O为AB中点,连结PO,CO,

∵PA=PB,

∴PO⊥AB.

又平面PAB⊥平面ABCD,且交线为AB，

∴PO⊥平面ABCD.

∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角.

由底面正方形边长为2,△PAB为等边三角形,

可得PO=，CO=,

∴tan∠PCO=.

∴PC与平面ABCD所成角的大小为arctan.

(2)过O作OE⊥AC,垂足为E,连结PE.

∵PO⊥平面ABCD,由三垂线定理，得PE⊥AC.

∴∠PEO为二面角B-AC-P的平面角.

可求得OE=.又PO=,∴tan∠PEO==.

∴二面角B-AC-P的大小为arctan.

(3)∵AB∥平面PCD,

∴点A到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离.

取CD中点M,连结OM,PM,

∵PO⊥CD,OM⊥CD,∴CD⊥平面POM.∴平面POM⊥平面PCD.

过O作ON⊥PM,垂足为N,则ON⊥平面PCD.

在△POM中,PO=,OM=2,可得PM=,

∴ON=.∴点A到平面PCD的距离为.

解法二:(1)同解法一.

(2)建立如图的空间直角坐标系O—xyz,

则A(-1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,3),C(1,2,0).

设n=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量,

则n⊥,n⊥.又=(-1,0,-3),=(1,2,-3),∴

令z=1,则x=-,y=,得n=(-,,1).

又是平面ABC的一个法向量,

设二面角B-AC-P的大小为θ,

则cosθ=cos〈n,〉=.

∴二面角B-AC-P的大小为arccos.

(3)设m=(a,b,c)为平面PCD的一个法向量,

则m⊥,m⊥.

由D(-1,2,0),可知=(-1,2,-3),又=(1,2,-3),∴

可得a=0,令b=,则c=2.得m=(0,,2).=(-1,0,-3),

设点A到平面PCD的距离为d,则d=

∴点A到平面PCD的距离为.