题目内容

已知向量 $数学公式$
（1）若 $数学公式$ ⊥（ $数学公式$ ），求tan（α+β）的值；
（2）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求tanαtanβ的值．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ =（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化简得：4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即4sin（α+β）=8cos（α+β），
∴tan（α+β）= $\text{[math]}$ =2；
（2）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，
即tanαtanβ= $\text{[math]}$ =16
分析：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ =（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），进而可得4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，由三角函数的定义即可得结果；（2）由向量平行的充要条件
可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，由三角函数的公式可得tanαtanβ= $\text{[math]}$ ，化简即可．
点评：本题考查三角函数的运算和向量的平行与垂直，记准公式是解决问题的关键，属中档题．