Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

12

)-1，g（x）=sinx•cosx．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）利用二倍角的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可确定出函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）将f（x）与g（x）代入h（x）中，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出h（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由题知f（x）=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+1]-1=

1

2

cos（2x+

π

6

）-

1

2

，
∴y=f（x）的对称轴方程为2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

1

2

kπ-

π

12

（k∈Z）；
（Ⅱ）由题知h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

cos（2x+

π

6

）-

1

2

+

1

2

sin2x=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]-

1

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）-

1

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）-

1

2

，
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-1≤

1

2

sin（2x+

π

3

）-

1

2

≤0，
∴h（x）的值域为[-1，0]．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的值域，以及余弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．