Question

抛物线y²=2px(p＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是53，求此抛物线方程.

Answer 1

解：设△AOB为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，∴AO的方程为y=2x.

    ∵A、B在抛物线上，设A(,y₁)、B(,y₂),∵AO⊥BO,∴k_OA·k_OB=-1,即·=-1.

    ∴y₁y₂=-p².                                         ①

    ∵A在直线y=2x上，∴y₁=2·,即y₁=p.

    代入①式得y₂=-4p.

    ∴A(,p),B(8p,-4p),|AB|=5，得p=.

    所求抛物线方程为y²=x.