Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+?-

π

6

）（0＜?＜π，ω＞0），
（1）若函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，且它的图象过（0，1）点，求函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中的函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间；
（3）若f（x）的图象在x∈（a，a+

1

100

）（a∈R）上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？

Answer 1

分析：（1）由

T

2

=

π

2

可求ω，它的图象过（0，1）点，0＜?＜π，可求φ，从而可得函数y=f（x）的表达式；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得y=g（x）的解析式，从而可得其单调递增区间；
（3）利用

1

2

T=

π

ω

＜

1

100

，即可求得正整数ω的最小值．

解答：解：（1）依题意，

T

2

=

π

2

，故T=π，
∴ω=2；
又f（0）=2sin（2×0+?-

π

6

）=1，
∴sin（?-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜?＜π，
∴φ=

π

3

；
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）将f（x）=2sin（2x+

π

6

）的图象向右平移

π

6

个单位得f（x-

π

6

）=2sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=2sin（2x-

π

6

），
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得y=g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）；
由2kπ-

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：
4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）的单调递增区间为[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]（k∈Z）．
（3）∵f（x）=2sin（ωx+?-

π

6

）的图象在x∈（a，a+

1

100

）（a∈R）上至少出现一个最高点或最低点，
∴

1

2

T=

π

ω

＜

1

100

，
∴ω＞100π，
∴正整数ω的最小值为315．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的性质，属于难题．