Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（ I ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅲ）如果一只苍蝇在该几何体内部任意飞，求它在三棱锥B-ACF内部飞的概率．

Answer 1

分析：（I）取CE中点P，连接FP、BP，易知FP∥DE，且FP=

1

2

DE.AB∥DE，且AB=

1

2

DE.可知ABPF为平行四边形，得到AF∥BP，由线面平行的判定定理得AF∥平面BCE．
（II）先证AF⊥平面CDE．又BP∥AF，得到BP⊥平面CDE，再由面面垂直的判定定理得到平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）由AB⊥平面ACD，确定AB是三棱锥B-ACF的高，从而求得V_B-ACF，CQ⊥平面ABED，确定CQ是四棱锥C-ABED的高，从而求得V_C-ABED，设四棱锥C-ABED代表事件全体，三棱锥B-ACF代表所求事件，从而求得苍蝇在三棱锥B-ACF内部飞的概率．

解答：解：（I）取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE.（2分）
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE.
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．（4分）

（II）∵△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，
∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D，（7分）
∴AF⊥平面CDE．
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．
又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．（9分）

（Ⅲ）∵AB⊥平面ACD
∴AB是三棱锥B-ACF的高，
V_B-ACF=

1

3

S△ACF•AB=

1

3

•

1

2

•

1

2

•2•2•sin

π

3

•1=

3

6

（11分）
取AD中点Q，连接CQ
∵AB⊥平面ACD，AB?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
∵△ACD为正三角形，∴CQ⊥AD，
平面ACD∩平面ABED=AD
CQ?平面ACD，
∴CQ⊥平面ABED，∴CQ是四棱锥C-ABED的高
V_C-ABED=

1

3

S梯形ABED•CQ=

1

3

•

(1+2)

2

•2•

3

=

3

（13分）
四棱锥C-ABED代表事件全体，三棱锥B-ACF代表所求事件，
苍蝇在三棱锥B-ACF内部飞的概率为V_B-ACF：V_C-ABED=

1

6

（14分）

点评：本题主要考查平面图形中的线线关系，线面平行和线面垂直的判定宝理及几何体体积的求法．