题目内容
【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，PC的中点，用向量方法解决以下问题：
（1）求异面直线AE与PD所成角的大小；
（2）若AB＝AP，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）推导出
，
，
，从而
平面
，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与
所成角的大小．
（2） 求出平面
的法向量和平面
的法向量，利用向量法能求出二面角
的余弦值的大小．
（1）由四边形
为菱形，
，
可得
为正三角形．因为
为
的中点，所以．
又
，因此．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：
设
，
，则
，0，
，
，0，，
，0，
，
，2，．
，0，，
，2，
，
，
异面直线与所成角的大小为．
（2）
，
设，则
，
，0，，，0，，
，1，，，0，
，
，
，
．
，0，，
，，，
，，
设平面的法向量
，，
，
则
，取
，得
，2，
，
设平面的法向量
，，，
则
，取
，得
，
，，
设二面角的平面角为
，
则
，
二面角的余弦值为．
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